Méthodes de splitting pour les problèmes multi-échelles

(L1) ∣∣∣∣ ẏ = by, y(0) = x0, ẋ = ax, x(0) = y(t), (L2) ∣∣∣∣ ẏ = ay, y(0) = x0, ẋ = bx, x(0) = y(t). Pour le système (L1), on a clairement x(t) = exp(at)x(0) = exp(at)y(t) = exp(at) exp(bt)y(0) = exp(at) exp(bt)x. Le calcul pour (L2) se fait de la même manière et donne le même résultat. On appelle splitting de Lie les deux méthodes (L1) et (L2). Pour une équation scalaire, ces deux méthodes sont identiques et reviennent au même que de traiter l’équation en une seule fois.